Derivada
Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.
Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .
As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}
A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :
Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:
Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .
Assim, conlui-se que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Podemos escrever então:f '(x0) = tgb
conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.
Temos neste caso:y = f(x) = x2f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
Portanto,
Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .
Assim, conlui-se que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Podemos escrever então:f '(x0) = tgb
conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.
Temos neste caso:y = f(x) = x2f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
Portanto,
Onde:
Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.
Interpretação geométrica do resultado
Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que b » 87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000 .Resposta: 5.
Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:
Onde:
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. Entretanto, é bom conhecer de memória as derivadas das principais funções.
Para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).
Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. Entretanto, é bom conhecer de memória as derivadas das principais funções.
Para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).
Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.
Um comentário:
Concavidade
A primeira derivada de uma função é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em cada ponto onde a deriva existe, sendo assim, se a derivada segunda também existir nesses pontos, temos que.
(1) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) crescem à medida que x cresce, f"(x)>0 e a concavidade (boca) da função é voltada para cima.
(2) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) decrescem à medida que x cresce, f"(x)<0 e a concavidade (boca) da função é voltada para baixo.
Utilizando estas idéias podemos estabelecer o seguinte
Teorema: Se f é uma função que possui as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, teremos as situações abaixo:
1. Se f"(x)>0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de x.
2. Se f"(x)<0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.
Uso da segunda derivada para máximos e mínimos
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)=0.
1. Se f"(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
2. Se f"(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.
Exemplo: As funções f(x)=1-x² e g(x)=x², definidas sobre S=[-1,2] possuem pontos críticos em x=0. f"(0)=-2<0 e g"(0)=2>0. Pelo critério da segunda derivada, x=0 é ponto de máximo local para f e ponto de mínimo local para g.
f(x)=1-x² g(x)=x²
Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.
Uso da n-ésima derivada para máximos e mínimos
Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, vamos admitir que f possui um ponto crítico c em S, isto é, f'(c)=0 e que:
f''(c)=f'''(c)=f(iv)(c)=...=f(n-1)(c)=0, mas f(n)(c) é diferente de zero
Assim:
a. Se n é par e f(n)(c)<0, x=c é ponto de máximo local para a função f.
b. Se n é par e f(n)(c)>0, x=c é ponto de mínimo local para a função f.
c. Se n é ímpar e f(n)(c) é diferente de zero, x=c não é ponto de mínimo para f, nem ponto de máximo para f. Este ponto x=c recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a função f.
Exemplos
1. Para f(x)=x4 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é ponto de mínimo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 mas f(iv)(0)=24
2. Para f(x)=x5 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de inflexão horizontal, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=0 mas f(v)(0)=120
3. Para f(x)=-x6 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de máximo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=f(v)(0)=0 mas f(vi)(0)=-720
Ponto de inflexão horizontal
Um ponto de inflexão horizontal, para uma função f que tem as duas primeiras derivadas contínuas e está definida sobre um conjunto S, é um ponto x=c em S tal que à esquerda dele a concavidade do gráfico de f está voltada para baixo e à direita de x=c a concavidade da curva está voltada para cima. A situação ainda ocorrerá se trocarmos as palavras: "para baixo" e "para cima".
A palavra horizontal significa que passando uma reta horizontal pelo ponto de coordenadas (c,f(c)), a parte do gráfico localizada à direita de x=c fica de um lado da reta e a parte da curva localizada à esquerda de x=c fica do outro lado da reta. É equivalente dizer que a reta tangente ao gráfico da função neste ponto é horizontal
Patrícia Alves
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