Taxa de Variação
Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.
A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?
Situação 1: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por
s(t)=t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade?
Situação 2: Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por
considerando a aceleração da gravidade g=9,8m/s2. Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta.
Como podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?
Situação 3: Suponha que uma bexiga está sendo inflada, produzindo uma esfera perfeita. Qual a taxa de variação pontual do volume de uma esfera de raio r, em função do raio? Com que taxa varia o volume da esfera quando r= 2m?
Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.
ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Dx -> 0+. Se consideramos Dx<0,> 0-. Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente Dx -> 0 , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos. A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.
Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.
A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?
Situação 1: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por
s(t)=t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade?
Situação 2: Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por
considerando a aceleração da gravidade g=9,8m/s2. Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta.Como podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?
Situação 3: Suponha que uma bexiga está sendo inflada, produzindo uma esfera perfeita. Qual a taxa de variação pontual do volume de uma esfera de raio r, em função do raio? Com que taxa varia o volume da esfera quando r= 2m?
Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.
ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Dx -> 0+. Se consideramos Dx<0,> 0-. Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente Dx -> 0 , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos. A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.
Nenhum comentário:
Postar um comentário