Definição de Derivada

Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f(x)-f(a))/(x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x,f(x)) e (a,f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de e também ponto de acumulação de A.

Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos .

Definição 3.1.1 Consideremos uma função e . A função f é derivável em a, se existir o limite

Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns:

O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima.
A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, , produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem ``infinitamente pequenos'', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um ente uno, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não terem uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e o leitor notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva.
A notação f'(x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferenciável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y=f(t) a notação ,atribuída a Newton.