A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
Exemplo:calcule a derivada da função f=x², no ponto x=10.
Relembrando:
y= xn
y’= n.x n - 1
F=x² Y’=2.10 brando:
F’=2.x²-¹ Y’=20 y’= xn
F’=2x¹ y ' = n.x n - 1
F’=2x
Portanto,a derivada da função y=x², no ponto de abscissa x=10, sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente á curva y=x², no ponto x=10, será também igual a 20, conforme a teoria vista acima.
Então já sabemos também que o valor da tangente é igual ao coeficiente angular M ou seja o valor da derivada da função y=f(x) no ponto de abscissa x= x°.
Então: M = f ’(x).
y-y° = f ’(x) ou y-y° = M
x-x° x-x°
Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)= senx.
x°=0.
F(x)= sen0
Y=sen (x)
Y’=cos (x)
Y= cos (x)
Y’= - sen (x)F’(x)= cos 0
F’(x)= 1
Y°=sen 0
Y°= 0
y-yº = f ’(x)
x-x°
y-0 = 1
x-0
y=x
Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=1 .
F(x)= g(x)
h(x)
F’(x)=g’(x).h(x)-g(x).h’(x)
[h(x)]² x
x°=1.
F’(x)=(0.x)-(1.1)
X²
F’(x)=-1
1²
F’(x)=-1
Y°= _1_
X
Yº=1
y-y°=f ’(x)
x-x°
y-1=-1
x-1
-x+1=y-1
Y=-x+1+1
Y=-x+2
Exemplo:obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=x.IxI.
X°=0.
F(x)= g(x).h(x)
F’(x)= g’(x).h(x)+g(x).h’(x)
F’(x)=1.x+1.x
F’(x)=x+x
F’(x)=2x
F’(x)=2.0
F’(x)=0
Y°=0
y-y°=f ‘(x)
x-x°
y-o=0
x-0
y=0
Gráfico de uma função y=f(x)
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + x0 :
v Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:
que derivando e igualando a zero dá:
isto é x =1/2
AR''(x)=-3/2<0 x="1/2">
Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:
Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.
f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0
Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:
Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0
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