matheus quevedo

A Derivada
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é importante na vida diária, todos desenvolvemos uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.
Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.
O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de ``A seta'', pode-se enunciar da seguinte forma: ``Uma seta movendo-se, a cada instante está `em repouso' ou `não em repouso' (isto é, `em movimento'). Se o instante é indivisível, a seta não pode se mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante seria imediatamente dividido. Mas tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se mover em nenhum instante, ela não pode se mover em nenhum tempo. Então ela sempre permanece em repouso.'' Ou seja, não existe o movimento da seta.
O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T. Bell ``Men of Mathematics'', Dover, N. York (1937), por exemplo.
Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido, pode ser refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os disponíveis naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade instantânea.
Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada de um arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade média v, definida por


v=[s(t2) - s(t1)]/(t2 - t1).


Assim, a velocidade média envolve o lapso de um certo tempo e as posições do ponto no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma grandeza que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?
A idéia é tomar velocidades médias

vt = [s(t) - s(t0)]/(t - t0),

em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como
ou seja,
Essas observações contêm o conceito de derivada.
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Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p=(a,b), b=f(a), onde f é uma função definida numa vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a,b) e por (x,y) de G(f). Depois ``deslizamos'' (x,y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto (a,b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para uma ``reta limite''. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a,b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a,b).
tomando (a,b)=(0,0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x,y) do gráfico dessa função e imagine oque acontece com as retas secantes por (a,b) e (x,y), quando (x,y) ``desliza'' sobre o gráfico, tendendo a (a,b). Não existe a ``reta limite''.