Ronaldo Mendes

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Aplicações de Derivada

0.1. Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Solução do problema 1

Da figura

Figura 1: Escada

Podemos escrever: e portanto:

A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

Derivando obtemos:

Os zeros da derivada são as soluções de:

isto é, x=0 ou x=4(22/3+1). Como x varia no intervalo somente nos interessa a segunda raiz.

f''(4(22/3+1))=3.(22/3)+6>0.

indicando que esta raiz é um mínimo. Calculando f nesta raiz obtemos:

d² = 277.147 d = 16,6477

0.2. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?

Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada

Logo,

Quando x=15 usando triângulos temos que e portanto:

que é a velocidade de rotação da lâmpada.

Amanda Vitorino

Aplicação de Derivadas e Uso de Taxas


- Aplicações das derivadas
A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, mas não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas. Muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto que a criatividade de cada mente possa se manifestar.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.
Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos.




- Taxas
A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:
A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.
Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial Si e um final Sf, além de um instante inicial tie um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:
ou
Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de Δt se aproxime de zero:
A velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...
A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função s(t), todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.
Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:
O que nos dá a aceleração instantãnea:
ou


Note que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.
Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

Ada Maia Costa Lima.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA OU REGRA DA CADEIA

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:
[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:
Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, dy/dx = dy/du du/dx

Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:
f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)
logo
f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99

Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:
g '(y) = 1/f '(x)

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)

Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:
g '(y) = 1/(2x+3)

Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então
f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)

Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:
f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]
ou sem a variável x, como:
f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]

Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = xx [1 + ln(x)]

Aluna: Camila Pinheiro, 2ºB


Trabalho de Cálculo - Taxa.

· Prestação que é exigida aos particulares que fazem uso de um serviço público;

· Imposto;

· Multa sob a forma de selo, imposta à correspondência sem selo ou com selo insuficiente e que é paga pelo destinatário;

· Regulamento que estabelece as custas dos processos judiciais;

· Regulamento para o preço dos gêneros ou mercadorias;

· Preço regulamentar;

· Razão do juro;

· Percentagem;

· Termo;

· Limite.

Conceito de Taxa:

O conceito de taxa pode ser definido por exigência de finanças que pode ser usado para serviços públicos, organização política ou do governo. É um tributo ou uma quantia obrigatória paga pela troca de algum serviço oferecido pelo Estado.

As taxas de juro podem ser divididas em taxas de juro ativas e taxas de juro passiva. As passivas são aquelas pagas ao depositante pelas Instituições Financeiras. Já as ativas são representadas pelas taxas cobradas pelas Instituições Financeiras aqueles que recebem algum tipo de crédito ou empréstimo. A grande diferença entre a taxa de juro ativa e a taxa de juro passiva é marcada pela taxa de “margem” financeira que determina o lucro das Instituições Financeiras nos seus depósitos e operações de crédito. Diferente de imposto, a taxa é cobrada para iluminação pública e é cobrada em pedágios para a manutenção de postos policiais e estradas.

Segundo os economistas, a taxa de juro é quanto custa para se emprestar um dinheiro. Essa taxa de juros é fixada por uma autoridade, que no caso, no nosso país é o Banco Central, e o aumento dessa taxa ou a queda tem impacto direto na expectativa de lucro dos empresários.

Aplicação de Taxa:

Na sociedade atual, convivemos com uma grande difusão de taxas: Elas se tornaram rotina para aqueles que usufruem serviços, sejam urbanos ou econômicos.

As taxas são empregadas em:

· Pedágios;

· Conta de telefone (taxa de iluminação pública);

· Empréstimos;

· Movimentação de conta corrente;

· Contratos.

^^

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