Mayara Araújo

Diferenciação e Diferenciabilidade

A derivada de uma função pode ser escrita de várias formas.

Por exemplo: (lê-se éfe linha de xis)
ou

(lê-se dê éfe dê xis de xis)
ou

(lê-se dê dê xis de éfe de xis)
ou

(lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial. Uma função é diferenciável em um ponto x se sua derivada existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a derivada existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a derivada é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante.