Série: 2° B Prof: Agérbon
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura.
A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante.Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).
A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:
Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... E as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.
Esperamos que a razão incremental se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.
O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:
Regras de Derivação
Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e as polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais para derivadas de funções
1. Multiplicação por escalar
(kf) '(x) = k f '(x)
2. Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
3. Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
4. Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então
(f.g) '(x) = f '(x)g(x) – f(x)g '(x)
g²(x)
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
Aplicação de derivada
A derivada é aplicada em diversos ramos nos dias de hoje. Em Contabilidade podemos usá-la no funcionamento do processo contábil, planos de contas, registro das operações contábeis, operações com mercadorias, taxas de juros, entre outros.
Também se pode usar para calcular velocidade e aceleração média.Se a velocidade de um automóvel, por exemplo, é dada em função do tempo, então a derivada dessa função em relação ao tempo descreve a aceleração desse automóvel, como função do tempo.
Na informática, a derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do funcionamento e custo de um computador seja de hardware ou software.
Além disso, ela também é extremamente utilizada na engenharia e na arquitetura, no planejamento de casa, edifícios, etc.
Como exemplo prático de aplicações temos:
1. Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.
Figura 3: Lâmpada
Logo,
e portanto:
que é a velocidade de rotação da lâmpada.
que derivando e igualando a zero dá:
isto é: x = 1/2.
AR''(x)=-3/2<0>
verificando que x=1/2 é um máximo local.
Um comentário:
Derivada
A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.
João Cardoso Pereira Netto
(Univ. Mogi das Cruzes)
A derivada surge como um caso particular de um limite; assim, dada a função y = f(x), a partir das diferenças D x e D y, o limite:
lim = (1)
D x ® 0
é, por definição [1a - 4a] , a derivada de y em relação a x, e se escreve como:
ou
A primeira representação é devida a Newton, e a segunda, a Leibnitz; a facilidade de manuseio da segunda forma é que permitiu um rápido desenvolvimento dessa nova ferramenta matemática.
São comuns as interpretações da derivada: geométrica e trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada é a reta tangente à uma curva de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma (daí a importância de se definir derivada em um ponto x0), enquanto que trigonometricamente, seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. É importante deixar claro que não são duas interpretações independentes como parece, mas são formas de interpretar que se complementam.
Fig. 1- Interpretações da Derivada
Deste modo, pode-se escrever:
= tg a (2)
A derivada é um operador que atua em uma função matemática; contudo, é importante notar que ela gera uma dependência entre duas funções. No exemplo anterior, entre y e x. É essa dependência que obriga que o operador derivada seja expresso na forma:
[f(x)] ou
Obtenção da Função Derivada
O objetivo é apresentar o significado de uma função derivada e como ela se relaciona com a função que lhe deu origem. Ao mesmo tempo, deseja-se mostrar, através de um caso particular, como foram construídas as regras de derivação. Para isso, tomando como exemplo uma função polinomial do tipo:
y = f(x) = a + b.x + c.x² (3)
considere as várias funções obtidas a partir dela, desde a função constante, y = a , até aquela representada pela função do 2ºgrau, e suas derivadas.
A- Derivada da Função Constante
A função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à abscissa.
Fig. 2- Gráfico da Função Constante
Como a tangente à “curva” em qualquer ponto é igual a zero, e como a tangente é a derivada, tem-se:
(4)
fornecendo a primeira regra de derivação: a derivada de uma constante é zero. Considerando a função y’ = 0, sua representação no gráfico y’ x x é a reta que coincide com o eixo dos x. Pensando somente no eixo y', pode-se dizer que essa função está representada pelo ponto 0.
Fig. 3- Gráfico da Função y’ = 0
Assim, a derivada da equação da reta y = a, paralela à abscissa, transforma-se em um ponto.
B- Derivada da Equação Geral da Reta
Considerando a equação da reta:
y = a + b.x (5)
e supondo a e b positivos, sua representação no diagrama y vs. x será:
Fig. 4- Gráfico da Equação da Reta: y = a + b.x
Como a tangente em cada ponto da reta é dada pelo seu coeficiente angular, tem-se:
tg a 1 = b
de forma que, em função dos seus significados, a derivada da equação da reta será:
(6)
É importante observar, neste ponto, que a operação de derivação traz como conseqüência a perda de informação acerca da função; para este caso, somente com a derivada não é possível saber se a reta passa pela origem ou não. Aplicando em seguida o operador à equação da reta,
o mesmo resultado anterior é obtido, através das seguintes operações: supondo que a derivada de uma soma seja igual à soma das derivadas, vem:
mas, pelo caso anterior,
e supondo que
tem-se:
y' = e (7)
que coincide com a Eq. (6), transformando-se na regra da derivada do produto de uma constante pela variável independente x. Considerando em seguida a função y’ = b, sua representação será a de uma reta paralela a abscissa.
Fig. 5- Gráfico da Função: y’ = b
Seguindo o mesmo procedimento do caso anterior, e empregando as regras já estabelecidas, a derivada de y’, chamada de derivada segunda, será:
ou
e portanto,
ou y’’ = 0 (8)
C- Derivada da Equação do 2º Grau
Considere a equação do 2º grau
y = a + b.x + c.x² (3)
para a qual supõe-se que a > 0 , b < 0 e c > 0. Como a > 0, sua representação será de uma parábola com ponto de mínimo.
Fig. 6- Gráfico da Função do 2º grau: y = a + b.x + c.x²
O objetivo é calcular a derivada da Eq. (3) no ponto M(x,y). Em primeiro lugar deve-se traçar a reta r, tangente à função em M, que define o coeficiente angular dado por:
Uma vez que o valor da derivada é o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto dado, tem-se:
-----
Os catetos do triângulo retângulo MNS são:
e
uma vez que SN = AS. Portanto,
mas y - a = c.x² + b.x, logo,
=
que para pode ser simplificada, de modo que:
e portanto,
(9)
Para x = - , a relação anterior transforma-se numa indeterminação que é retirada através do próprio conceito de derivada; nestas condições, a Eq. (9) é válida para todo x e é a derivada da equação do 2º grau. Considerando agora a função:
y’ = 2c.x + b
sua representação é de uma reta, conforme a Fig. 7.
Fig. 7- Gráfico da Função: y’ = 2cx + b
Em primeiro lugar deve-se notar que os pontos A e M da Fig. 7 estão em correspondência com os pontos A e M da Fig. 6; portanto, pode-se concluir que os valores das tangentes em cada ponto da parábola (isto é, a derivada) estão definidos pela reta cuja equação é a derivada da equação do 2º grau, Eq. (9).
Procedendo como nos casos anteriores, as derivadas de ordem superior serão dadas por:
------
e
ou
Com esses resultados é possível construir “regras” para que se possa obter a derivada a partir da equação do 2º grau, e de monômios de qualquer grau, sem o malabarismo feito anteriormente. Assim, derivando a equação do 2º grau,
e supondo que a derivada de uma soma seja a soma das derivadas, aplicando as regras já estabelecidas, vem:
e
=
de forma que a derivada é obtida, se for adotada a seguinte regra:
Portanto,
y’ = b + 2.c.x
que é a Eq. (9).
É interessante observar que através dos significados geométrico e trigonométrico obtém-se o valor ou a expressão da derivada de uma função; em seguida, são construídas regras para obter o mesmo resultado.
Da análise dos três casos anteriores, pode-se obter, por indução, as seguintes conseqüências:
1- a derivada de uma função polinomial é a soma das derivadas dos seus monômios;
2- o processo de derivação de monômios reduz de uma unidade o grau do monômio, e pode ser obtido a partir da seguinte regra: dada a função:
y = a.xm (10)
sua derivada será:
(11)
3- a derivada de uma função num ponto dado, é o coeficiente angular (tangente trigonométrica) da reta tangente à curva nesse ponto;
4- a derivada é um operador matemático que transforma uma função em outra função;
5- considerando que a derivada de uma função contínua também é uma função contínua, o processo de derivação pode ser realizado sobre a própria derivada da função. Deste modo, com procedimento análogo são obtidas as derivadas de ordem superior, denominadas derivada 2ª, 3ª, etc.
6- a representação das derivadas 1ª, 2ª e 3ª é:
1ª -
2ª -
3ª -
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