Cutcando a alma do negócio.

A publicidade descobriu que o segredo para consegui vender os seus produtos é direcionando eles às crianças, ela notou que em casa quem manda não são os pais, pois os verdadeiros pesuasores alem da propaganda são esses pequenos consumidores, para os pais é dificil dizer não aos seus filhos, pesquisas mostram que 80% da influencia de compra dentro de uma casa vem da criança. Esses dados são importantes para os estudos de persuação, entretanto a publicidade com o tempo esta acabando com a infância. Grande parte das crianças de hoje preferem comprar a brincar, meninas de 3, 4 anos ja usam maquiagem, assim os pequenos estão ficando precoces e perdendo sua inocência.

Em muitos paises desenvolvidos como Inglaterra e Suiça há leis proibindo determinados campanhas que induzem a criança a querer comprar tal produto, no Brasil não existem leis claras a respeito disso.

Para terminar esse post segue abaixo o trailler do documentário : Criança, a alma do negócio. Esse filme é muito bom, pois da uma continuidade ao que escrevi e faz nos questionarmos se o modo de como as crianças brasileira estão vivendo com toda essa persuação em cima delas esta certo ou não.

ACER-E3A461F770

HISTÓRIA

http://www.4shared.com/file/28591814/d534fb28/A_Ditadura_Militar.html
Link da aula de história! :D~
Obg, Fabrini :*

Nayanna Benevides

Colégio Espaço Aberto
Aluna: Nayanna Benevides
2° B – Dom Luís
Turno: Manhã

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.
O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos.
Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo, recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em que implicitamente especifica a função São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio. Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação. A função é diferente da função.
As funções podem ser classificadas como sobrejetoras, injetoras e bijetoras.Também podem ser compostas ou inversa. Em diversos momentos de nosso cotidiano, usamos o conceito de função. algumas situações do nosso dia-a-dia onde podemos encontrar tais relações funcionais. Para estabelecermos algumas relações, é bom saber os tipos de variáveis que existem: discretas e contínuas. A variável discreta é a que assume valores num subconjunto dos números naturais. E uma variável contínua é a que assume valores num subconjunto dos números reais.Ela pode ser usada para medir alguns alcances,calcular uma velocidade em função de um certo período de tempo, para determinar a velocidade de um determinado corpo.

pedro vieira

A primeira derivada de uma função é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em cada ponto onde a deriva existe, sendo assim, se a derivada segunda também existir nesses pontos, temos que.
(1) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) crescem à medida que x cresce, f"(x)>0 e a concavidade (boca) da função é voltada para cima.
(2) Se os coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico da função y=f(x) decrescem à medida que x cresce, f"(x)<0 e a concavidade (boca) da função é voltada para baixo.
Utilizando estas idéias podemos estabelecer o seguinte
Teorema: Se f é uma função que possui as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, teremos as situações abaixo:
Se f"(x)>0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de x.
Se f"(x)<0
Uso da segunda derivada para máximos e mínimos
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)=0.
Se f"(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
Se f"(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.
Exemplo: As funções f(x)=1-x² e g(x)=x², definidas sobre S=[-1,2] possuem pontos críticos em x=0. f"(0)=-2<0>0. Pelo critério da segunda derivada, x=0 é ponto de máximo local para f e ponto de mínimo local para g.
f(x)=1-x²
g(x)=x²
Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério acima, necessita ser ampliado.
Uso da n-ésima derivada para máximos e mínimos
Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, vamos admitir que f possui um ponto crítico c em S, isto é, f'(c)=0 e que:
f''(c)=f'''(c)=f(iv)(c)=...=f(n-1)(c)=0, mas f(n)(c) é diferente de zero
Assim:
Se n é par e f(n)(c)<0, x=c é ponto de máximo local para a função f.
Se n é par e f(n)(c)>0, x=c é ponto de mínimo local para a função f.
Se n é ímpar e f(n)(c) é diferente de zero, x=c não é ponto de mínimo para f, nem ponto de máximo para f. Este ponto x=c recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a função f.
Exemplos
Para f(x)=x4 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é ponto de mínimo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 mas f(iv)(0)=24
Para f(x)=x5 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de inflexão horizontal, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=0 mas f(v)(0)=120
Para f(x)=-x6 definida sobre [-2,2], o ponto crítico é x=0 é um ponto de máximo local, pois:
f'(0)=f''(0)=f'''(0)=f(iv)(0)=f(v)(0)=0 mas f(vi)(0)=-720
Ponto de inflexão horizontal
Um ponto de inflexão horizontal, para uma função f que tem as duas primeiras derivadas contínuas e está definida sobre um conjunto S, é um ponto x=c em S tal que à esquerda dele a concavidade do gráfico de f está voltada para baixo e à direita de x=c a concavidade da curva está voltada para cima. A situação ainda ocorrerá se trocarmos as palavras: "para baixo" e "para cima".
A palavra horizontal significa que passando uma reta horizontal pelo ponto de coordenadas (c,f(c)), a parte do gráfico localizada à direita de x=c fica de um lado da reta e a parte da curva localizada à esquerda de x=c fica do outro lado da reta. É equivalente dizer que a reta tangente ao gráfico da função neste ponto é horizontal

matheus quevedo

A Derivada
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. A noção de tangência é importante na vida diária, todos desenvolvemos uma considerável intuição a respeito. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse nosso entendimento informal.
Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.
O quarto paradoxo formulado pelo filósofo grego Zenon (495-435 a.C.), chamado de ``A seta'', pode-se enunciar da seguinte forma: ``Uma seta movendo-se, a cada instante está `em repouso' ou `não em repouso' (isto é, `em movimento'). Se o instante é indivisível, a seta não pode se mover em um instante, porque se ela o fizesse o instante seria imediatamente dividido. Mas tempo é feito de instantes. Como a seta não pode se mover em nenhum instante, ela não pode se mover em nenhum tempo. Então ela sempre permanece em repouso.'' Ou seja, não existe o movimento da seta.
O leitor encontrará mais informações sobre os paradoxos de Zenon no livro de E. T. Bell ``Men of Mathematics'', Dover, N. York (1937), por exemplo.
Este argumento de grande engenhosidade para a época em que foi estabelecido, pode ser refutado hoje em dia com base em alguns conceitos mais refinados do que os disponíveis naquele tempo. Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade instantânea.
Suponhamos que um ponto descreva um movimento sobre uma reta de modo que sua coordenada, em cada instante t, seja x=s(t). Esse ponto pode representar a seta disparada de um arco. Ao se mover da posição a=s(t1) para b=s(t2), o ponto tem uma velocidade média v, definida por


v=[s(t2) - s(t1)]/(t2 - t1).


Assim, a velocidade média envolve o lapso de um certo tempo e as posições do ponto no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado t0 entre t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma grandeza que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?
A idéia é tomar velocidades médias

vt = [s(t) - s(t0)]/(t - t0),

em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como
ou seja,
Essas observações contêm o conceito de derivada.
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Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p=(a,b), b=f(a), onde f é uma função definida numa vizinhança de a. O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a,b) e por (x,y) de G(f). Depois ``deslizamos'' (x,y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto (a,b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para uma ``reta limite''. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a,b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a,b).
tomando (a,b)=(0,0). Faça um esboço do gráfico de f. Considere um ponto (x,y) do gráfico dessa função e imagine oque acontece com as retas secantes por (a,b) e (x,y), quando (x,y) ``desliza'' sobre o gráfico, tendendo a (a,b). Não existe a ``reta limite''.

Marcello Bramigk Bonon

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de

y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:

y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da reta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas Notáveis e Exemplo de Aplicação:

-Para funções trigonométricas:

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O que se pode fazer com derivadas?

Muitas coisas, por exemplo, as derivadas têm aplicações práticas na economia onde poderemos com derivadas, prever os efeitos de determinadas políticas e calcular a atividade de um negócio dentro de determinadas características.

Larissa Macrina

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

Exemplo:calcule a derivada da função f=x², no ponto x=10.
Relembrando:
y= xn
y’= n.x n - 1
F=x² Y’=2.10 brando:
F’=2.x²-¹ Y’=20 y’= xn
F’=2x¹ y ' = n.x n - 1
F’=2x

Portanto,a derivada da função y=x², no ponto de abscissa x=10, sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente á curva y=x², no ponto x=10, será também igual a 20, conforme a teoria vista acima.
Então já sabemos também que o valor da tangente é igual ao coeficiente angular M ou seja o valor da derivada da função y=f(x) no ponto de abscissa x= x°.
Então: M = f ’(x).

y-y° = f ’(x) ou y-y° = M
x-x° x-x°

Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)= senx.
x°=0.
F(x)= sen0

Y=sen (x)
Y’=cos (x)

Y= cos (x)
Y’= - sen (x)F’(x)= cos 0
F’(x)= 1

Y°=sen 0
Y°= 0

y-yº = f ’(x)
x-x°

y-0 = 1
x-0

y=x

Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=1 .

F(x)= g(x)
h(x)

F’(x)=g’(x).h(x)-g(x).h’(x)
[h(x)]² x
x°=1.
F’(x)=(0.x)-(1.1)
X²

F’(x)=-1
1²
F’(x)=-1

Y°= _1_
X

Yº=1

y-y°=f ’(x)
x-x°

y-1=-1
x-1

-x+1=y-1
Y=-x+1+1
Y=-x+2


Exemplo:obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=x.IxI.
X°=0.

F(x)= g(x).h(x)

F’(x)= g’(x).h(x)+g(x).h’(x)
F’(x)=1.x+1.x
F’(x)=x+x
F’(x)=2x
F’(x)=2.0
F’(x)=0
Y°=0

y-y°=f ‘(x)
x-x°

y-o=0
x-0

y=0


Gráfico de uma função y=f(x)




Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 +  x0 :

v Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.

Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:

que derivando e igualando a zero dá:
isto é x =1/2

AR''(x)=-3/2<0 x="1/2">

Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:

Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.

f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0

Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:

Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0

Definição de Derivada

Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f(x)-f(a))/(x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x,f(x)) e (a,f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de e também ponto de acumulação de A.

Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos .

Definição 3.1.1 Consideremos uma função e . A função f é derivável em a, se existir o limite

Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns:

O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima.
A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, , produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem ``infinitamente pequenos'', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um ente uno, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não terem uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e o leitor notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva.
A notação f'(x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferenciável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y=f(t) a notação ,atribuída a Newton.

Jéssica Piorski

Taxa de Variação

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?

Situação 1: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por
s(t)=t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade?

Situação 2: Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por considerando a aceleração da gravidade g=9,8m/s2. Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta.
Como podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?

Situação 3: Suponha que uma bexiga está sendo inflada, produzindo uma esfera perfeita. Qual a taxa de variação pontual do volume de uma esfera de raio r, em função do raio? Com que taxa varia o volume da esfera quando r= 2m?

Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.

ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Dx -> 0+. Se consideramos Dx<0,> 0-. Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente Dx -> 0 , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos. A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.

Aplicação de derivadas

Daniel Antunes

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384--322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática ...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615--1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602--1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642--1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.

Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.

O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli (1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710--1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685--1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os "incrementos imperceptíveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698--1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo Analytical Institutions (Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial,1755), Euler definiu a derivada como "o método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções", que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717--1783) afirmou que a "definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.

No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736--1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas,1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo.

Lara Menezes

Derivada

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:

Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .
Assim, conlui-se que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Podemos escrever então:f '(x0) = tgb
conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.
Temos neste caso:y = f(x) = x2f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
Portanto,

Onde:

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Interpretação geométrica do resultado

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que b » 87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000 .Resposta: 5.
Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. Entretanto, é bom conhecer de memória as derivadas das principais funções.
Para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).
Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Antônio Faria

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Stefanie Braga

Introdução ao conceito de derivada :

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

A derivada do ponto de vista geométrico :

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.

O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.

Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).

Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por:

y = f(xo) + k (x-xo)

Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.

Derivada de uma função real

Quando h0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto.

Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

A derivada de f(x)=x³ é denotada por f '(x)=3x², pois

Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva y=f(x) em um ponto P=(c,f(c)), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k' e k", são perpendiculares, se k'k"=-1, então, se k'=f '(c), o coeficiente angular da reta normal será:

k" = -1/f '(c)

e a reta normal será dada por

y = f(c) - (x-c)/f '(c)

Existem outras notações para a derivada de y=f(x) com relação a x, como y '(x), dy/dx, yx, Dxf, Dxy e a mais comum é: dy
dx

Observações: Se existe o limite, podemos escrever a derivada de outras formas.

(a) Se xo é um ponto particular no domínio de f, então:f '(xo) = Lim
x0 f(xo+x) - f(xo)
x

(b) Se x=xo+x na última expressão e tomarmos x0, obteremos outra expressão equivalente para a derivada:f '(xo) = Lim
xxo f(x) - f(xo)
x-xo

(c) x=x-xo é a diferença na variável x para cada análise fixa e representa a variação da variável x quando fazemos uma análise do ponto de vista dinâmico. Por definição

dx = x = x-xo
y = f = f(x)-f(xo)

Diferencial de uma função f

Nem sempre a diferença exata f coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por:

df = f '(xo) dx

que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é:

y - f(xo) = f '(xo) (x-xo)

Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)).

Com dx=x-xo e dy=y-f(xo) temos um outro sistema em que as variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema.

A equação da reta tangente será dada por:

dy = f '(xo) dx

cuja inclinação coincide com a diferencial de f no ponto xo. A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada. Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto (xo,f(xo)) (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto P, obteremos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo.

Aplicações da diferencial a cálculos aproximados

Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?

Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x², assim a diferencial desta função será escrita como:

dA = A '(x)dx = 2x dx

pois A '(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:

dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x

Se a aresta de um cubo mede x=10cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo?

Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x³, assim temos que V'(x)=3x² e a diferencial desta função será escrita como:

dV = V '(x) dx = 3x² dx

Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:

dV = 3 × 10² (0,03) = 9 cm³

Um triângulo tem dois lados que medem 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área?

Solução: Se a e b são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo x, a área desse triângulo é dada por A(x)=½ ab sen(x). Assim:

dA = ½ a b cos(x) dx

Como x=60graus=(pi/3)rad, a=2m, b=3m e dx=1% de 1rad, então

dA = ½ × 2 × 3 × cos(pi/3) × 0,01 = 0,015 m²


Derivadas Laterais

Como a derivada de uma função f em um ponto xo é um caso particular de limite, então tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em xo:f '(xo-) = Lim
xxo- f(x) - f(xo)
x-xo (x
(c) Derivada lateral à esquerda: f '(0-)=-1.

Este exemplo mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, implica na continuidade de f neste ponto.


Observação: Um termo comum na literatura sobre derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função derivável em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que, se o gráfico da função possui um bico, como a função modular, por exemplo, este fato implica na existência de derivadas laterais diferentes, garantindo que a função não tem derivada neste ponto.

Mayara Araújo

Diferenciação e Diferenciabilidade

A derivada de uma função pode ser escrita de várias formas.

Por exemplo: (lê-se éfe linha de xis)
ou

(lê-se dê éfe dê xis de xis)
ou

(lê-se dê dê xis de éfe de xis)
ou

(lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial. Uma função é diferenciável em um ponto x se sua derivada existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a derivada existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a derivada é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante.

Rebecca Viana

Aluna: Rebecca Viana Ponte Carvalho.
Série: 2° B Prof: Agérbon

Derivadas

Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura.

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante.
Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... E as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.
O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

Regras de Derivação

Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e as polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais para derivadas de funções
1. Multiplicação por escalar
(kf) '(x) = k f '(x)
2. Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
3. Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
4. Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então
(f.g) '(x) = f '(x)g(x) – f(x)g '(x)
g²(x)
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.

Aplicação de derivada

A derivada é aplicada em diversos ramos nos dias de hoje. Em Contabilidade podemos usá-la no funcionamento do processo contábil, planos de contas, registro das operações contábeis, operações com mercadorias, taxas de juros, entre outros.
Também se pode usar para calcular velocidade e aceleração média.Se a velocidade de um automóvel, por exemplo, é dada em função do tempo, então a derivada dessa função em relação ao tempo descreve a aceleração desse automóvel, como função do tempo.
Na informática, a derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do funcionamento e custo de um computador seja de hardware ou software.
Além disso, ela também é extremamente utilizada na engenharia e na arquitetura, no planejamento de casa, edifícios, etc.
Como exemplo prático de aplicações temos:

1. Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada

Logo,

Quando x=15 usando triângulos temos que e portanto:

que é a velocidade de rotação da lâmpada.

2. Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:

que derivando e igualando a zero dá:

isto é: x = 1/2.

AR''(x)=-3/2<0>

verificando que x=1/2 é um máximo local.