Karla Layana

Taxa De Variação

Slew-rate, ou taxa de variação, é uma especificação das mais importantes em amplificadores e
em qualquer circuito de áudio, tais como processadores, mesas de som, etc., porém em
amplificadores sua importância é maior, devido às altas amplitudes geradas. A não observância
de um valor mínimo de slew-rate pode ocasionar distorções bastante desagradáveis.
O termo slew-rate originou-se da teoria dos amplificadores operacionais, assim que tornouse
clara a necessidade de conhecer a rapidez com que estes circuitos poderiam lidar com os
sinais elétricos de grande amplitude.
Nos dias atuais surgiu uma certa controvérsia, entre autores, quanto ao uso do termo “slewrate”;
alguns sugerindo que fosse substituído pela quantidade, de fato mais direta, “slew-limit”.
Mas como “slew-rate” já se encontra bem difundido e para evitar possíveis confusões,
omitiremos a quantidade “slew-limit” em favor da mais conhecida “slew-rate”.
Em nossa descrição, faremos uso de ferramentas matemáticas tão simples quanto possíveis.

Antes de qualquer coisa é necessário entender o que significa taxa de variação no seu sentido
matemático. Trata-se de um conceito simples mas importante, que faz parte do nosso dia-a-dia.
Como exemplo, devemos considerar que a velocidade de um automóvel é expressa como uma
taxa de variação, tal como
v = 100km/h
Ela significa que a cada hora o automóvel varia 100km em sua posição. Uma forma mais
elucidativa é a interpretação geométrica. Podemos assim dizer que o espaço s (distância
percorrida neste caso) varia como uma função do tempo t, neste caso 100km a cada 1h, ou
graficamente:










E podemos expressar por
v = Ds/Dt (1.1), onde D significa variação
Diz-se que a velocidade é a taxa de variação temporal do espaço, ou a taxa de variação do
espaço com respeito ao tempo. Pode ainda ser pensada como a inclinação exibida pelo gráfico
espaço-tempo.
No caso deste exemplo, tudo é muito simples, pois que a função é linear, ou seja, o gráfico é
uma reta, assim basta substituir:
v = (vfinal – vinicial)/(tfinal – tinicial) = 100km/1h = 100km/h
O que conduz ao resultado familiar de 100km/h, uma taxa claramente constante ao longo do
tempo. Lembre-se que a função é linear, ou seja, seu gráfico é uma reta.
Podemos estender o mesmo raciocínio para sinais elétricos. Vamos assim supor um sinal de
teste do tipo senoidal, ou aproximadamente, um tom de flauta doce, examinado ao osciloscópio.









A imagem que vemos no osciloscópio é nada mais do que a representação temporal da tensão
(ou seja um gráfico tensão-tempo). Vemos que ela varia sinusoidalmente ao longo do tempo, e
podemos provar que ela é exatamente uma função do tipo seno/cosseno, ou uma combinação
linear de funções desse tipo. Mas, o mais importante agora é perceber que sua taxa de variação
não é mais linear, mas varia de ponto a ponto, ao longo do tempo, e isso nos impede de utilizar
(1.1) a fim de calculá-la.
Porém, lançando mão de ferramentas matemáticas poderosas, como o cálculo diferencial[1],
podemos fazê-lo com muita facilidade. Veremos o processo.
Consideremos um trecho do gráfico. Estamos interessados em conhecer a taxa de variação em
um único ponto. O gráfico não é uma reta, assim como medir a inclinação de algo que é,
essencialmente, curvo?
A técnica consiste em se traçar uma reta que toca o gráfico num único ponto, o ponto que
estamos interessados. A essa reta dá-se o nome de reta tangente ao gráfico no ponto em questão.









A inclinação desta reta tangente pode ser então calculada da maneira usual, fornecendo
assim, a taxa de variação instantânea da curva, num dado ponto.
reta tangente
ponto de interesse
3
Observe que não é mais possível falar em taxa de variação apenas, mas em taxa de variação
instantânea, pois que para cada ponto da função teremos um valor diferente.
A técnica de se traçar retas tangentes a curvas foi descoberta, pela primeira vez, no século
XVII, por Sir Isaac Newton e consiste no seguinte processo matemático.
Dada uma certa curva, representada por uma certa função f, estamos interessados em conhecer
a taxa de variação instantânea (ou inclinação) da curva num certo ponto t, genérico.











Traçamos uma reta através deste ponto t e de um outro ponto, um pouco adiante,
chamaremos t+Dt (Dt é um pequeno acréscimo). A esta reta, que fornece a taxa de
média, chamaremos reta secante.
A taxa de variação (slew-rate) da reta secante é, pela expressão usual (1.1):
SRsec = D¦(t)/Dt = [¦(t+Dt)- ¦(t)]/[(t+Dt-t)] = [¦(t+Dt)- ¦(t)]/(Dt) (1.2)
Contudo, esta não é uma boa aproximação para a taxa de variação em t, pois ela compreende
uma região relativamente grande. Se diminuirmos progressivamente o acréscimo
aumentaremos a precisão cada vez mais e chegaremos, no limite em que Dt se aproxima
Dt®0), na inclinação da reta tangente, pois o ponto Dt estará infinitamente próximo
assim poderemos, com segurança garantir que, [t, f(t)] e [Dt, f(Dt)] quase se tocam.

Matematicamente o processo é:
lim [¦(t+Dt) - ¦(t)]/(Dt) = d[¦(t)]/dt = SR (1.3)
Dx ® 0
Onde SR é a taxa de variação instantânea da curva no ponto t. A operação d[¦(t)]/dt é
chamada derivada de ¦ com respeito a t.
Aplicando o operador derivada ao sinal senoidal de teste do tipo u(t) = A sen(wt),(que nada
mais é do que a representação matemática do sinal de teste da figura 2, onde A representa a
amplitude, w é a freqüência angular e t o tempo), podemos encontrar todas as taxas de variação
possíveis para esta função:
d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w
Não provaremos a passagem d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w, mas o processo é essencialmente o
descrito em (1.3); (aos interessados lembramos que aqui foi utilizada a regra da cadeia do cálculo
diferencial[1], razão pela qual surge um w fora da função).
Se d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w podemos facilmente encontrar a maior taxa de variação possível,
já que a função cosseno é periódica e tem inclinação máxima (ou mínima) em 0, p, 2p,... (ou
seja, em hp c/ hÎ N), e esse valor máximo é sempre unitário (1 ou –1); assim
u(t) = A sen(wt)
d[u(t)]/dt = A cos(wt)w
Como o cosseno tem valor máximo em 0, p, 2p,..., fazemos t = 0, assim o fator cos(wt) = 1, e
substituindo temos:
SR = d[u(t)]/dt = Aw ; em t = 0
Como w = 2pf, a equação fica:
SR (Amax, fmax) = Amax 2pfmax (1.4)
Sendo Amax a amplitude máxima do sinal de teste e fmax a maior freqüência deste sinal.
Assim (1.4) representa a maior taxa de variação (slew-rate) possível para uma tensão que
varia com o tempo, em função da amplitude e da freqüência.

Moisés do Vale Souza

Derivada

Introdução

Em Matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .
Obs.:As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas Notáveis

Para funções logarítmas:

Para funções trigonométricas:

Para funções trigonométricas inversas:

CAMILLI VIEIRA

Inclinação Angular de uma Reta.
Inclinação da reta é o ângulo formado, tendo-se como referência os eixos x e y no sentido anti-horário. As possibilidades de α numa reta são:

α = 0º

0º < α < 90°

α = 90º

90º < α < 180º

A inclinação α de uma reta r é tal que 0º ≤ α < 180º

Coeficiente Angular de Uma Reta

Chamamos coeficiente angular ou declividade de uma reta r não-perpendicular ao eixo x o número m, de modo que m = tg α. Temos:

α = 0º ↔ m = 0

0º < α <> 0

Α = 90º ↔ m

90º < α <180º ↔ m < 0

Coeficiente Linear de Uma Reta

A equação da uma reta r é ax + by + c =0. Quando x = 0, a equação se reduz a by + c =0 ou , portanto o ponto onde r corta o eixo vertical é ( 0; ). Ele é o coeficiente linear da reta.

Aplicação

A inclinação é usada na construção de teatros para uma melhor audibilidade, quando não se tem paredes para emitir uma boa sonora acústica, o que é de extrema importância em teatros.

A forte inclinação da arquibancada é muito importante na boa audibilidade. A massa da audiência apresenta uma forte absorção ao som, que passa sobre as cabeças. Um teatro ao ar livre não possui um teto, um forro que nos teatros e auditórios fechados age como um enorme aparelho refletor, devolvendo uma boa parte da energia sonora sobre a audiência com um ângulo grande, reduzindo a absorção existente devido à pouca inclinação da platéia.Vale ressaltar que não é só de inclinação a ótima acústica dos teatros, estão incluídos também silêncio do local e relacionamento geométrico do palco, anfiteatro, vento de orientação.

ARTUR SIMONETTI

INCLINAÇAO:

A inclinação é um dos seis parâmetros orbitais que descrevem a forma e orientação de uma órbita de um corpo celeste em relação a outro corpo, normalmente de maior massa. É o ângulo formado entre o plano da órbita e o plano de referência, sendo um valor entre 0 e 180 graus. Se o momento angular do corpo for um vetor que aponta para o norte do plano de referência, a inclinação vale entre 0 e 90 graus, caso contrário, a inclinação vale entre 90 e 180 graus.

A inclinação pode ser calculada dado o vetor momento angular e o vetor do eixo Z relativo ao plano de referência: se estes vetores formam um ângulo α, a inclinação é α.

Uma órbita é retrógrada quando a inclinação é maior que 90 graus.

O ponto em que o corpo menor cruza o plano de referência, passando do hemisfério sul para o hemisfério norte, é chamado de nodo ascendente.

No sistema solar, a inclinação da órbita de um planeta é definida como o ângulo entre o plano da órbita do planeta, e a eclíptica, que é a órbita da Terra. Pode ser medido com respeito a outro plano, como o equador do Sol, o plano orbital de Júpiter, mas a eclíptica é mais prática para os observadores a partir da Terra.

DERIVADAS:

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Ronaldo Mendes

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Aplicações de Derivada

0.1. Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Solução do problema 1

Da figura

Figura 1: Escada

Podemos escrever: e portanto:

A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

Derivando obtemos:

Os zeros da derivada são as soluções de:

isto é, x=0 ou x=4(22/3+1). Como x varia no intervalo somente nos interessa a segunda raiz.

f''(4(22/3+1))=3.(22/3)+6>0.

indicando que esta raiz é um mínimo. Calculando f nesta raiz obtemos:

d² = 277.147 d = 16,6477

0.2. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?

Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada

Logo,

Quando x=15 usando triângulos temos que e portanto:

que é a velocidade de rotação da lâmpada.

Amanda Vitorino

Aplicação de Derivadas e Uso de Taxas


- Aplicações das derivadas
A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, mas não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas. Muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto que a criatividade de cada mente possa se manifestar.
A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.
Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos.




- Taxas
A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:
A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.
Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial Si e um final Sf, além de um instante inicial tie um final tf, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:
ou
Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de Δt se aproxime de zero:
A velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...
A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função s(t), todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.
Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:
O que nos dá a aceleração instantãnea:
ou


Note que ao derivarmos a função s(t) duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.
Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

Ada Maia Costa Lima.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA OU REGRA DA CADEIA

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:
[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:
Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, dy/dx = dy/du du/dx

Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:
f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)
logo
f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99

Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:
g '(y) = 1/f '(x)

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)

Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:
g '(y) = 1/(2x+3)

Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então
f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)

Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:
f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]
ou sem a variável x, como:
f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]

Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = xx [1 + ln(x)]