Ronaldo Mendes

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Aplicações de Derivada

0.1. Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?

Solução do problema 1

Da figura

Figura 1: Escada

Podemos escrever:

e portanto:

A função que descreve o comprimento da escada que pode ser apoiada sobre o muro e alcança o edifício tem como expressão:

Derivando obtemos:

Os zeros da derivada são as soluções de:

isto é, x=0 ou x=4(22/3+1). Como x varia no intervalo

somente nos interessa a segunda raiz.

f''(4(22/3+1))=3.(22/3)+6>0.

indicando que esta raiz é um mínimo. Calculando f nesta raiz obtemos:

d² = 277.147 d = 16,6477

0.2. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?

Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada