Ada Maia Costa Lima.

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA OU REGRA DA CADEIA

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:
[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:
Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, dy/dx = dy/du du/dx

Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:
f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)
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f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99

Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:
g '(y) = 1/f '(x)

Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)

Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:
g '(y) = 1/(2x+3)

Derivada de potência de função: Se f(x)=[u(x)]p onde u=u(x) é uma função derivável e p é um número real, então
f '(x) = p [u(x)]p-1 u '(x)

Exemplo: Seja f(x)=[sen(2x)]7, definida para x real. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = 14 [sen(2x)]6cos(2x)

Derivadas de função elevada a outra função: Se f(x)=[u(x)]v(x), onde u e v são funções deriváveis num intervalo I da reta real e para todo x no intervalo I, se tem que u(x)>0, então:
f '(x) = u(x)v(x)[(v(x).u '(x)/u(x)) + v '(x).ln(u(x))]
ou sem a variável x, como:
f ' = uv [v u '/u + v ' ln(u)]

Exemplo: Seja f(x)=xx, definida para x>0. Mostrar que a derivada, é dada por:
f '(x) = xx [1 + ln(x)]