Marcello Bramigk Bonon

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de

y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:

y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da reta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas Notáveis e Exemplo de Aplicação:

-Para funções trigonométricas:

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O que se pode fazer com derivadas?

Muitas coisas, por exemplo, as derivadas têm aplicações práticas na economia onde poderemos com derivadas, prever os efeitos de determinadas políticas e calcular a atividade de um negócio dentro de determinadas características.

Larissa Macrina

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

Exemplo:calcule a derivada da função f=x², no ponto x=10.
Relembrando:
y= xn
y’= n.x n - 1
F=x² Y’=2.10 brando:
F’=2.x²-¹ Y’=20 y’= xn
F’=2x¹ y ' = n.x n - 1
F’=2x

Portanto,a derivada da função y=x², no ponto de abscissa x=10, sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente á curva y=x², no ponto x=10, será também igual a 20, conforme a teoria vista acima.
Então já sabemos também que o valor da tangente é igual ao coeficiente angular M ou seja o valor da derivada da função y=f(x) no ponto de abscissa x= x°.
Então: M = f ’(x).

y-y° = f ’(x) ou y-y° = M
x-x° x-x°

Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)= senx.
x°=0.
F(x)= sen0

Y=sen (x)
Y’=cos (x)

Y= cos (x)
Y’= - sen (x)F’(x)= cos 0
F’(x)= 1

Y°=sen 0
Y°= 0

y-yº = f ’(x)
x-x°

y-0 = 1
x-0

y=x

Exemplo: obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=1 .

F(x)= g(x)
h(x)

F’(x)=g’(x).h(x)-g(x).h’(x)
[h(x)]² x
x°=1.
F’(x)=(0.x)-(1.1)
X²

F’(x)=-1
1²
F’(x)=-1

Y°= _1_
X

Yº=1

y-y°=f ’(x)
x-x°

y-1=-1
x-1

-x+1=y-1
Y=-x+1+1
Y=-x+2


Exemplo:obtenha a equação da reta tangente da função f(x)=x.IxI.
X°=0.

F(x)= g(x).h(x)

F’(x)= g’(x).h(x)+g(x).h’(x)
F’(x)=1.x+1.x
F’(x)=x+x
F’(x)=2x
F’(x)=2.0
F’(x)=0
Y°=0

y-y°=f ‘(x)
x-x°

y-o=0
x-0

y=0


Gráfico de uma função y=f(x)




Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 +  x0 :

v Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3cm e 4cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.

Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:

que derivando e igualando a zero dá:
isto é x =1/2

AR''(x)=-3/2<0 x="1/2">

Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:

Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.

f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0

Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:

Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0

Definição de Derivada

Tomemos os coeficientes angulares, m(x) = (f(x)-f(a))/(x-a), também chamados declividades, das retas secantes a G(f) por (x,f(x)) e (a,f(a)). Se a ``reta limite'' de nossas considerações preliminares existir e não for vertical, significa que os coeficientes angulares m(x) tendem a um valor fixo, m(a), que é o coeficiente angular da reta tangente e que chamaremos derivada de f em a. Na definição precisa, a seguir, o ponto a é ponto de e também ponto de acumulação de A.

Isto é, lembrando que A' denota o conjunto dos pontos de acumulação de A, impomos .

Definição 3.1.1 Consideremos uma função e . A função f é derivável em a, se existir o limite

Neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.
Há várias notações para a derivada. Sendo y=f(x), as seguintes são algumas das mais comuns:

O termo diferenciável é sinônimo de derivável e também será usado de agora em diante com a mesma liberdade com que passaremos de uma para qualquer outra das notações acima.
A notação dy/dx é devida a Leibnitz. No seu tempo a formalização do conceito de limite não havia sido atingida e o uso dessa notação pode ser explicado da seguinte forma: O acréscimo da variável x, , produz um acréscimo da variável y, . A idéia é que, ao se tornarem ``infinitamente pequenos'', esses acréscimos passavam a ser denotados por dx e dy, respectivamente, e operavam-se com eles formalmente como com dois números quaisquer. A razão transformava-se em dy/dx e este símbolo não representava um ente uno, como acontece hoje, mas o quociente entre dy e dx. A despeito desses argumentos não terem uma clara fundamentação lógica, devem ser julgados no contexto de sua época. A notação de Leibnitz permanece e o leitor notará que ela é útil sendo, em muitas circunstâncias, a mais sugestiva.
A notação f'(x) é atribuída a Lagrange. É a notação mais conveniente quando f é diferenciável em um conjunto A e se considera a função derivada em A. Isto é, a função f' que associa a cada a derivada f'(x) de f no ponto x. Quando a variável independente representa o tempo e é indicada por t, também se usa para a derivada de y=f(t) a notação ,atribuída a Newton.

Jéssica Piorski

Taxa de Variação

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.

A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?

Situação 1: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por
s(t)=t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade?

Situação 2: Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial nula, é dada por considerando a aceleração da gravidade g=9,8m/s2. Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta.
Como podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1s após o início da queda? E após 2s?

Situação 3: Suponha que uma bexiga está sendo inflada, produzindo uma esfera perfeita. Qual a taxa de variação pontual do volume de uma esfera de raio r, em função do raio? Com que taxa varia o volume da esfera quando r= 2m?

Observações:
i) a taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto x0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.
Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.

ii) dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo Dx>0, fazemos Dx se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos Dx -> 0+. Se consideramos Dx<0,> 0-. Quando, ao calcularmos o limite, escrevemos simplesmente Dx -> 0 , estamos fazendo Dx se aproximar de 0 tanto por valores positivos como negativos. A taxa de variação pontual ou instantânea de uma função possui uma interpretação geométrica importante que será útil em nosso estudo das funções.

Aplicação de derivadas

Daniel Antunes

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384--322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática ...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615--1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602--1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642--1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.

Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.

O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli (1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710--1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685--1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os "incrementos imperceptíveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698--1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo Analytical Institutions (Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial,1755), Euler definiu a derivada como "o método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções", que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717--1783) afirmou que a "definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.

No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736--1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas,1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo.

Lara Menezes

Derivada

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:

Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .
Assim, conlui-se que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Podemos escrever então:f '(x0) = tgb
conclusão importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x = x0.
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição.
Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.
Temos neste caso:y = f(x) = x2f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
Portanto,

Onde:

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Interpretação geométrica do resultado

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que b » 87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abscissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .
Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa x = 1000 .Resposta: 5.
Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:
A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. Entretanto, é bom conhecer de memória as derivadas das principais funções.
Para desenhar gráficos de funções
As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).
Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Antônio Faria

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta