Stefanie Braga

Introdução ao conceito de derivada :

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

A derivada do ponto de vista geométrico :

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.

O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.

Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).

Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por:

y = f(xo) + k (x-xo)

Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.

Derivada de uma função real

Quando h0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferenciável) neste ponto.

Exemplo: A derivada da função f(x)=x³ no ponto x=1, é dada por:

A derivada de f(x)=x³ é denotada por f '(x)=3x², pois

Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva y=f(x) em um ponto P=(c,f(c)), é a reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto.

Como duas retas, com coeficientes angulares iguais a k' e k", são perpendiculares, se k'k"=-1, então, se k'=f '(c), o coeficiente angular da reta normal será:

k" = -1/f '(c)

e a reta normal será dada por

y = f(c) - (x-c)/f '(c)

Existem outras notações para a derivada de y=f(x) com relação a x, como y '(x), dy/dx, yx, Dxf, Dxy e a mais comum é: dy
dx

Observações: Se existe o limite, podemos escrever a derivada de outras formas.

(a) Se xo é um ponto particular no domínio de f, então:f '(xo) = Lim
x0 f(xo+x) - f(xo)
x

(b) Se x=xo+x na última expressão e tomarmos x0, obteremos outra expressão equivalente para a derivada:f '(xo) = Lim
xxo f(x) - f(xo)
x-xo

(c) x=x-xo é a diferença na variável x para cada análise fixa e representa a variação da variável x quando fazemos uma análise do ponto de vista dinâmico. Por definição

dx = x = x-xo
y = f = f(x)-f(xo)

Diferencial de uma função f

Nem sempre a diferença exata f coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por:

df = f '(xo) dx

que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é:

y - f(xo) = f '(xo) (x-xo)

Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)).

Com dx=x-xo e dy=y-f(xo) temos um outro sistema em que as variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema.

A equação da reta tangente será dada por:

dy = f '(xo) dx

cuja inclinação coincide com a diferencial de f no ponto xo. A translação para a origem deste novo sistema, é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada. Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto (xo,f(xo)) (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto P, obteremos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura, em anexo.

Aplicações da diferencial a cálculos aproximados

Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?

Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x², assim a diferencial desta função será escrita como:

dA = A '(x)dx = 2x dx

pois A '(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:

dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x

Se a aresta de um cubo mede x=10cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo?

Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x³, assim temos que V'(x)=3x² e a diferencial desta função será escrita como:

dV = V '(x) dx = 3x² dx

Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:

dV = 3 × 10² (0,03) = 9 cm³

Um triângulo tem dois lados que medem 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área?

Solução: Se a e b são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo x, a área desse triângulo é dada por A(x)=½ ab sen(x). Assim:

dA = ½ a b cos(x) dx

Como x=60graus=(pi/3)rad, a=2m, b=3m e dx=1% de 1rad, então

dA = ½ × 2 × 3 × cos(pi/3) × 0,01 = 0,015 m²


Derivadas Laterais

Como a derivada de uma função f em um ponto xo é um caso particular de limite, então tem sentido calcular os limites laterais abaixo, à esquerda e à direita em xo:f '(xo-) = Lim
xxo- f(x) - f(xo)
x-xo (x
(c) Derivada lateral à esquerda: f '(0-)=-1.

Este exemplo mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, implica na continuidade de f neste ponto.


Observação: Um termo comum na literatura sobre derivadas é a palavra suave. Dizemos que uma função derivável em um ponto é suave nas vizinhanças deste ponto, motivado pelo fato que, se o gráfico da função possui um bico, como a função modular, por exemplo, este fato implica na existência de derivadas laterais diferentes, garantindo que a função não tem derivada neste ponto.

Mayara Araújo

Diferenciação e Diferenciabilidade

A derivada de uma função pode ser escrita de várias formas.

Por exemplo: (lê-se éfe linha de xis)
ou

(lê-se dê éfe dê xis de xis)
ou

(lê-se dê dê xis de éfe de xis)
ou

(lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial. Uma função é diferenciável em um ponto x se sua derivada existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a derivada existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a derivada é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante.

Rebecca Viana

Aluna: Rebecca Viana Ponte Carvalho.
Série: 2° B Prof: Agérbon

Derivadas

Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura.

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada fornece a inclinação instantânea de f(x) em cada ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante.
Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... E as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.
O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Quando h0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

Regras de Derivação

Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e as polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais para derivadas de funções
1. Multiplicação por escalar
(kf) '(x) = k f '(x)
2. Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
3. Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
4. Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então
(f.g) '(x) = f '(x)g(x) – f(x)g '(x)
g²(x)
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.

Aplicação de derivada

A derivada é aplicada em diversos ramos nos dias de hoje. Em Contabilidade podemos usá-la no funcionamento do processo contábil, planos de contas, registro das operações contábeis, operações com mercadorias, taxas de juros, entre outros.
Também se pode usar para calcular velocidade e aceleração média.Se a velocidade de um automóvel, por exemplo, é dada em função do tempo, então a derivada dessa função em relação ao tempo descreve a aceleração desse automóvel, como função do tempo.
Na informática, a derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do funcionamento e custo de um computador seja de hardware ou software.
Além disso, ela também é extremamente utilizada na engenharia e na arquitetura, no planejamento de casa, edifícios, etc.
Como exemplo prático de aplicações temos:

1. Seja x a distância entre o ponto mais próximo da lâmpada ao caminho e a posição do homem.

Figura 3: Lâmpada

Logo,

Quando x=15 usando triângulos temos que e portanto:

que é a velocidade de rotação da lâmpada.

2. Seja x a variável que representa o comprimento de um lado do retângulo inscrito:

que derivando e igualando a zero dá:

isto é: x = 1/2.

AR''(x)=-3/2<0>

verificando que x=1/2 é um máximo local.

Karla Layana

Taxa De Variação

Slew-rate, ou taxa de variação, é uma especificação das mais importantes em amplificadores e
em qualquer circuito de áudio, tais como processadores, mesas de som, etc., porém em
amplificadores sua importância é maior, devido às altas amplitudes geradas. A não observância
de um valor mínimo de slew-rate pode ocasionar distorções bastante desagradáveis.
O termo slew-rate originou-se da teoria dos amplificadores operacionais, assim que tornouse
clara a necessidade de conhecer a rapidez com que estes circuitos poderiam lidar com os
sinais elétricos de grande amplitude.
Nos dias atuais surgiu uma certa controvérsia, entre autores, quanto ao uso do termo “slewrate”;
alguns sugerindo que fosse substituído pela quantidade, de fato mais direta, “slew-limit”.
Mas como “slew-rate” já se encontra bem difundido e para evitar possíveis confusões,
omitiremos a quantidade “slew-limit” em favor da mais conhecida “slew-rate”.
Em nossa descrição, faremos uso de ferramentas matemáticas tão simples quanto possíveis.

Antes de qualquer coisa é necessário entender o que significa taxa de variação no seu sentido
matemático. Trata-se de um conceito simples mas importante, que faz parte do nosso dia-a-dia.
Como exemplo, devemos considerar que a velocidade de um automóvel é expressa como uma
taxa de variação, tal como
v = 100km/h
Ela significa que a cada hora o automóvel varia 100km em sua posição. Uma forma mais
elucidativa é a interpretação geométrica. Podemos assim dizer que o espaço s (distância
percorrida neste caso) varia como uma função do tempo t, neste caso 100km a cada 1h, ou
graficamente:










E podemos expressar por
v = Ds/Dt (1.1), onde D significa variação
Diz-se que a velocidade é a taxa de variação temporal do espaço, ou a taxa de variação do
espaço com respeito ao tempo. Pode ainda ser pensada como a inclinação exibida pelo gráfico
espaço-tempo.
No caso deste exemplo, tudo é muito simples, pois que a função é linear, ou seja, o gráfico é
uma reta, assim basta substituir:
v = (vfinal – vinicial)/(tfinal – tinicial) = 100km/1h = 100km/h
O que conduz ao resultado familiar de 100km/h, uma taxa claramente constante ao longo do
tempo. Lembre-se que a função é linear, ou seja, seu gráfico é uma reta.
Podemos estender o mesmo raciocínio para sinais elétricos. Vamos assim supor um sinal de
teste do tipo senoidal, ou aproximadamente, um tom de flauta doce, examinado ao osciloscópio.









A imagem que vemos no osciloscópio é nada mais do que a representação temporal da tensão
(ou seja um gráfico tensão-tempo). Vemos que ela varia sinusoidalmente ao longo do tempo, e
podemos provar que ela é exatamente uma função do tipo seno/cosseno, ou uma combinação
linear de funções desse tipo. Mas, o mais importante agora é perceber que sua taxa de variação
não é mais linear, mas varia de ponto a ponto, ao longo do tempo, e isso nos impede de utilizar
(1.1) a fim de calculá-la.
Porém, lançando mão de ferramentas matemáticas poderosas, como o cálculo diferencial[1],
podemos fazê-lo com muita facilidade. Veremos o processo.
Consideremos um trecho do gráfico. Estamos interessados em conhecer a taxa de variação em
um único ponto. O gráfico não é uma reta, assim como medir a inclinação de algo que é,
essencialmente, curvo?
A técnica consiste em se traçar uma reta que toca o gráfico num único ponto, o ponto que
estamos interessados. A essa reta dá-se o nome de reta tangente ao gráfico no ponto em questão.









A inclinação desta reta tangente pode ser então calculada da maneira usual, fornecendo
assim, a taxa de variação instantânea da curva, num dado ponto.
reta tangente
ponto de interesse
3
Observe que não é mais possível falar em taxa de variação apenas, mas em taxa de variação
instantânea, pois que para cada ponto da função teremos um valor diferente.
A técnica de se traçar retas tangentes a curvas foi descoberta, pela primeira vez, no século
XVII, por Sir Isaac Newton e consiste no seguinte processo matemático.
Dada uma certa curva, representada por uma certa função f, estamos interessados em conhecer
a taxa de variação instantânea (ou inclinação) da curva num certo ponto t, genérico.











Traçamos uma reta através deste ponto t e de um outro ponto, um pouco adiante,
chamaremos t+Dt (Dt é um pequeno acréscimo). A esta reta, que fornece a taxa de
média, chamaremos reta secante.
A taxa de variação (slew-rate) da reta secante é, pela expressão usual (1.1):
SRsec = D¦(t)/Dt = [¦(t+Dt)- ¦(t)]/[(t+Dt-t)] = [¦(t+Dt)- ¦(t)]/(Dt) (1.2)
Contudo, esta não é uma boa aproximação para a taxa de variação em t, pois ela compreende
uma região relativamente grande. Se diminuirmos progressivamente o acréscimo
aumentaremos a precisão cada vez mais e chegaremos, no limite em que Dt se aproxima
Dt®0), na inclinação da reta tangente, pois o ponto Dt estará infinitamente próximo
assim poderemos, com segurança garantir que, [t, f(t)] e [Dt, f(Dt)] quase se tocam.

Matematicamente o processo é:
lim [¦(t+Dt) - ¦(t)]/(Dt) = d[¦(t)]/dt = SR (1.3)
Dx ® 0
Onde SR é a taxa de variação instantânea da curva no ponto t. A operação d[¦(t)]/dt é
chamada derivada de ¦ com respeito a t.
Aplicando o operador derivada ao sinal senoidal de teste do tipo u(t) = A sen(wt),(que nada
mais é do que a representação matemática do sinal de teste da figura 2, onde A representa a
amplitude, w é a freqüência angular e t o tempo), podemos encontrar todas as taxas de variação
possíveis para esta função:
d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w
Não provaremos a passagem d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w, mas o processo é essencialmente o
descrito em (1.3); (aos interessados lembramos que aqui foi utilizada a regra da cadeia do cálculo
diferencial[1], razão pela qual surge um w fora da função).
Se d[sen(wt)]/dt = cos(wt)w podemos facilmente encontrar a maior taxa de variação possível,
já que a função cosseno é periódica e tem inclinação máxima (ou mínima) em 0, p, 2p,... (ou
seja, em hp c/ hÎ N), e esse valor máximo é sempre unitário (1 ou –1); assim
u(t) = A sen(wt)
d[u(t)]/dt = A cos(wt)w
Como o cosseno tem valor máximo em 0, p, 2p,..., fazemos t = 0, assim o fator cos(wt) = 1, e
substituindo temos:
SR = d[u(t)]/dt = Aw ; em t = 0
Como w = 2pf, a equação fica:
SR (Amax, fmax) = Amax 2pfmax (1.4)
Sendo Amax a amplitude máxima do sinal de teste e fmax a maior freqüência deste sinal.
Assim (1.4) representa a maior taxa de variação (slew-rate) possível para uma tensão que
varia com o tempo, em função da amplitude e da freqüência.

Moisés do Vale Souza

Derivada

Introdução

Em Matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:
Sendo f(x)=2x+12, temos que f ' (x)=2 e P f'(x)=2x + K .
Obs.:As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.
A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

Derivadas Notáveis

Para funções logarítmas:

Para funções trigonométricas:

Para funções trigonométricas inversas:

CAMILLI VIEIRA

Inclinação Angular de uma Reta.
Inclinação da reta é o ângulo formado, tendo-se como referência os eixos x e y no sentido anti-horário. As possibilidades de α numa reta são:

α = 0º

0º < α < 90°

α = 90º

90º < α < 180º

A inclinação α de uma reta r é tal que 0º ≤ α < 180º

Coeficiente Angular de Uma Reta

Chamamos coeficiente angular ou declividade de uma reta r não-perpendicular ao eixo x o número m, de modo que m = tg α. Temos:

α = 0º ↔ m = 0

0º < α <> 0

Α = 90º ↔ m

90º < α <180º ↔ m < 0

Coeficiente Linear de Uma Reta

A equação da uma reta r é ax + by + c =0. Quando x = 0, a equação se reduz a by + c =0 ou , portanto o ponto onde r corta o eixo vertical é ( 0; ). Ele é o coeficiente linear da reta.

Aplicação

A inclinação é usada na construção de teatros para uma melhor audibilidade, quando não se tem paredes para emitir uma boa sonora acústica, o que é de extrema importância em teatros.

A forte inclinação da arquibancada é muito importante na boa audibilidade. A massa da audiência apresenta uma forte absorção ao som, que passa sobre as cabeças. Um teatro ao ar livre não possui um teto, um forro que nos teatros e auditórios fechados age como um enorme aparelho refletor, devolvendo uma boa parte da energia sonora sobre a audiência com um ângulo grande, reduzindo a absorção existente devido à pouca inclinação da platéia.Vale ressaltar que não é só de inclinação a ótima acústica dos teatros, estão incluídos também silêncio do local e relacionamento geométrico do palco, anfiteatro, vento de orientação.

ARTUR SIMONETTI

INCLINAÇAO:

A inclinação é um dos seis parâmetros orbitais que descrevem a forma e orientação de uma órbita de um corpo celeste em relação a outro corpo, normalmente de maior massa. É o ângulo formado entre o plano da órbita e o plano de referência, sendo um valor entre 0 e 180 graus. Se o momento angular do corpo for um vetor que aponta para o norte do plano de referência, a inclinação vale entre 0 e 90 graus, caso contrário, a inclinação vale entre 90 e 180 graus.

A inclinação pode ser calculada dado o vetor momento angular e o vetor do eixo Z relativo ao plano de referência: se estes vetores formam um ângulo α, a inclinação é α.

Uma órbita é retrógrada quando a inclinação é maior que 90 graus.

O ponto em que o corpo menor cruza o plano de referência, passando do hemisfério sul para o hemisfério norte, é chamado de nodo ascendente.

No sistema solar, a inclinação da órbita de um planeta é definida como o ângulo entre o plano da órbita do planeta, e a eclíptica, que é a órbita da Terra. Pode ser medido com respeito a outro plano, como o equador do Sol, o plano orbital de Júpiter, mas a eclíptica é mais prática para os observadores a partir da Terra.

DERIVADAS:

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.